Achilles, želva a nekonečné řady

Anotace: matematická, reakce na: http://liter.cz/Uvahy/335311-view.aspx

Předhoní Achilles želvu, která jde pomaleji než on? Pro podrobnosti si přečtěte:
http://liter.cz/Uvahy/335311-view.aspx

Podle selského rozumu předhoní a podle matematického překvapivě taky. Řekněme, že Achillés se pohybuje 10m/s a želva 1m/s. (Řekové myslím vůbec nepoužívali pojem čísla, takže měli problém to zapsat a je taky otázka, jak vlastně chápali pojem rychlosti)
Vypočítáme to tím horším způsobem, který po nás chce Zenón. Řekněme, že Achiles je od želvy 10m, takže jí dohoní za 1s. Želva se mezitím posune o 1m. Achiles jí dožene za 0,1s. Příklad je bohužel zvolen tak ilustrativně, že je jasné, že želvu dožene za 1,1111...s. Tedy v konečném čase. To co starověké filozofy mátlo bylo, že museli sčítat nekonečný počet sčítanců. (a připadalo jim logické, že sečíst nekonečněkrát něco je vždycky nekonečno)
máme tedy sčítat:

1+1/10+1/100+1/1000+ atd

obecněji vezmeme:

1+A+A2+A3+A4+...

(kde číslo za velkým písmenem je exponent)
ukažme si násobení polynomů:

(1-A).(1+A+A2+A3)=(1+A+A2+A3)-(A+A2+A3+A4)=1-A4

pro obecný počet členů:

(1-A).(1+A+A2+...+A(n-1))=1-An

tím ale máme vzorec pro součet obecně dlouhé geometrické posloupnosti:

1+A+A2+...+A(n-1)=(1-An)/(1-A)

(toto mimo jiné umožňuje spočítat kolik atomů je v jablku, když A=2) viz:

http://liter.cz/Uvahy/335156-view.aspx

Nám ale jde teď o A=1/10 a můžeme si proto dovolit poslat n do nekonečna (potřebujeme, aby|A|<1). An jde do nuly, což je nejlépe vidět z grafu exponenciální funkce. Nebo to můžete nacvakat na kalkulačce: 0,1 na 10tou, 100tou, 1000í- z výsledku se stane 0. Máme tedy součet nekonečné geometrické řady:

1+A+A2+...=1/(1-A)

V našem případě je A=1/10=0.1 a součet řady je: 1/0.9=10/9=1,1111...

Otázku šípu jsem nejspíš viděl rozebranou u Bertranda Russella. Pokusím se zopakovat, co si nejspíš jen pamatuju. Pohyb nahlížený v daném okamžiku se skutečně jeví jako statický. Vtip je asi v tom, že my nevnímáme daný okamžik, ale průběh okamžiků, takže pohyb je pro nás změna polohy vůči ostatním objektům během změny času. Tím už se prakticky dostáváme k zavedení rychlosti: 10m/s znamená, že za velice malý čas urazí věc velice malou dráhu. Pokud bychom šli s časem do 0 dostaneme výraz 0/0, který je neurčitý. Prakticky to znamená, že bychom měli počítat limitu- jenže tou je právě okamžitá rychlost. Vypadá to trochu jako definice kruhem, ale řek bych že to sedí, když se lidstvo s tímto přístupem dostalo na Měsíc. (připouštím, že to je trochu demagogický argument :-) )
Tedy šíp skutečně stojí, pokud stojí čas, když se ale čas pohybuje, pohybuje se i šíp. A ano z jednoho časového okamžiku nepoznáme rychlost objektu- tu nám musí někdo říct a nebo jí musíme určit ve dvou okamžicích.

Jinak tento "filozofický" příklad dobře ilustruje určitý postoj ke světu: asice, že některé problémy jdou exaktně vyřešit, použije- li se ten správný aparát (někdy to trvá stovky let...) . Určitě by o tom lépe promluvili zasvěcenější, ale bylo i určité přesvědčení, že na základě logické analýzy jakéhokoliv výroku, lze určit, jestli je pravdivý nebo nepravdivý. (předhoní Achilles želvu). Zde mi připadá absurdní tvrdit, že je to subjektivní, zda předhoní nebo nepředhoní, nebo relativní... Nicméně, co se týče této rozhodnutelnosti pravdivosti- není stav věcí příliš optimistický, alespoň tak jsem pochopil Godela. :-) To je teoretický přístup. Pak jsou otázky, kde nám chybí informace vnější tj. např. se nemůžeme potopit na dno oceánu a zjistit kolik tam těch minerálů je. (příklad je to možná nepravdivý, zato ilustrativní).